Rechner für geometrische Folge
Das n-te Glied und die Summe einer geometrischen Folge.
Ergebnis
n-tes Glied
162,00
Summe von n Gliedern
242,00
So funktioniert's
Eine geometrische Folge multipliziert bei jedem Schritt mit demselben Faktor: Start bei a₁, jedes Mal mal dem Quotienten r. Das n-te Glied ist a₁ · r^(n−1), die Summe von n Gliedern a₁(rⁿ−1)/(r−1). Multiplizieren statt Addieren lässt diese Folgen explodieren. Start bei 1 mit r = 2 ergibt 1, 2, 4, 8, 16 — das zehnte Glied ist schon 512, das zwanzigste 524.288. Das ist die Mathematik hinter Zinseszins, viraler Verbreitung, Bevölkerungswachstum und der berühmten Geschichte vom Schachbrett und den Körnern. Bei |r| < 1 schrumpft jedes Glied, und etwas Bemerkenswertes passiert: Unendlich viele Glieder summieren sich zu einem endlichen Wert, a₁/(1−r). Ewiges Halbieren — 1 + ½ + ¼ + … — konvergiert genau gegen 2. Diese Konvergenz trägt alles von periodischen Dezimalzahlen bis zur Mathematik ewiger Renten.
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Häufige Fragen
Was ist der Quotient?
Der feste Faktor zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern — z. B. 3 in 2, 6, 18, 54.
Wann konvergiert die Summe?
Bei einer unendlichen Reihe nur, wenn der Quotient zwischen −1 und 1 liegt.
Was ist der Unterschied zur arithmetischen Folge?
Eine arithmetische Folge addiert je Schritt einen festen Betrag (2, 5, 8, 11), eine geometrische multipliziert mit einem festen Faktor (2, 6, 18, 54). Addieren wächst linear, Multiplizieren exponentiell.
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